まっくすの脳内のゴミ箱

ドラムの話とかホラーゲームの話とか

偏微分方程式の解法を直感にしたがって

数学微分方程式勉強

ども、まっくすです(乂'ω')。

期末が近くなってきたので今回はお勉強します。

偏微分方程式が意味不すぎてググってたんですが、全然わかりやすいの落ちてませんでした。

で、友達に聞いたり、ノート見返したりで、こんな感じなのかなって思ったのでまとめておきます。

今回は数学的に厳密な議論はしないで理解を重視したまとめにします。

だから細かいところは許してヒヤシンス。

目次

目次
あらすじ
解を求めてみようず
まとめ

あらすじ

とりあえずこの関係を紐解きます。

例示は試金石。

$\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-2\frac{\partial^2 z}{\partial^2 y}=0$

このzの解は、

特性方程式　 $λ^2+λ-2=0$

を解いて

$z=ψ(-2x+y)+φ(x+y)$

になるらしいです。

具体例をみてそこから普遍性を想像する形にします。

解を求めてみようず

まず、解を z=ψ(Ax+y) と仮定します。*1 *2

これを

$\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}-2\frac{\partial^2 z}{\partial^2 y}=0 \tag{1}$

に代入します。

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})\\=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial ψ(Ax+y)}{\partial x})\\=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial ψ(Ax+y)}{\partial (Ax+y)}\frac{\partial (Ax+y)}{\partial x})$

で、

$\frac{\partial ψ(Ax+y)}{\partial (Ax+y)}=ψ'$

とおくと、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=A\frac{\partial}{\partial x}ψ'\\=A\frac{\partial ψ'}{\partial (Ax+y)}\frac{\partial (Ax+y)}{\partial x}\\=A^2ψ''$

要は

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=A^2ψ''$

こうなる

同じようにすると

$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=Aψ''$ , $\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=ψ''$

だから、(1)は

$A^2ψ''+Aψ''-2ψ''=0\\(A^2+A-2)ψ''=0\\(A+2)(A-1)ψ''=0\\\\A=-2,1$

ちなみに、ここで特性方程式 $λ^2+λ-2=0$ のような形が出てきた。

そうすると解が二つ、

$z=ψ(-2x+y), ψ(x+y)$

ができる。

この時重ね合わせてもいい*3から、

$z=ψ(-2x+y)+φ(x+y)$

となる。

まとめ

$\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}-2\frac{\partial^2 z}{\partial^2 y}=0$

の答えは

$z=ψ(-2x+y)+φ(x+y)$

になる。

で、特性方程式を使ってとけば

$λ^2+λ-2=0$

を解いて、

出たλをψのAのところに入れる。

なぜこの特性方程式が出てくるかというと、(1)の式に代入した過程でこの形が出てくるから。

ほんとは特性方程式が重解を持つとか複素数解を持つとかで場合分けいるんですけど、力尽きました。

頑張れたら考えてみます。

要は偏微分方程式が出てきたら特性方程式をときましょうねって話。

頑張ってまとめてみようとしましたがなかなか難しいね。

まあ、へこたれずに頑張っていきます。

今日はここまで。

*1:え、いきなり仮定ですか？？なんでこの形？？って思うかもしれませんがこれ、結果論です。

お偉い先人が見つけてくれた最適解。

これでやるとなんか知らんがうまくいくんです。

詮索するのはあきらめましょう。

*2:ちょっと頭の切れる人はなんで ψ(Ax+By) じゃないのって思うかもしれません。

ですがこれ、ちょっと具体的に考えてみればわかります。

ψ(X) っていうのは何かの関数のことです。

$X$ とか $X^2$ とか

で、 ψ(Ax+y) っていうのは、X に Ax+y を代入したもの。上の例なら

$Ax+y$ とか $(Ax+y)^2$ とか

で、ψ(Ax+By) を解にするなら

$ψ(X)=\frac{X}{B}$ とか $ψ(X)=\frac{X^2}{B}$ とか

の X に Ax+By を代入しちゃえば

$ψ(X)=\frac{A}{B}x+y$ とか $ψ(X)=(\frac{A}{B}x+y)^2$

になるため、最初の解と同じ形になるんですね。

じゃあ変数の少ない ψ(Ax+y) の方がいいよねって発想です。

*3: $z=ψ(-2x+y)+φ(x+y)$ が本当に解なの？って思う人は (1) にzを代入してみましょう。

本当に0になるから。

両辺が等しくなってるからこれで良いのです。

(1)さえ成り立てばそれが解なのです。

こういう考え方は微分方程式ならではだと思う。

慣れないと困惑する。

成り立って入ればよかろうなのだーっ！！って思考を持ちましょう。